अंकगणित - अवतरण इतिहास

रविन्द्र प्रसाद 14 फ़रवरी 2021 को 07:26 बजे

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	==संबंधित लेख==		==संबंधित लेख==
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रविन्द्र प्रसाद 18 मई 2018 को 08:44 बजे

2018-05-18T08:44:56Z

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	इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:		इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
	[[ चित्र:Equation-.gif\|thumb\|center\|~~250px~~]]		[[ चित्र:Equation-.gif\|thumb\|center\|300px]]

	इस प्रकार अभीष्ट में म.स. ८४ है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:		इस प्रकार अभीष्ट में म.स. ८४ है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
	[[ चित्र:Equation2.gif\|thumb\|center\|~~250px~~]]		[[ चित्र:Equation2.gif\|thumb\|center\|300px]]

	अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।		अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।
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	424.33643 ´ 12.732 = 4243.3643 ´ 1.2732		424.33643 ´ 12.732 = 4243.3643 ´ 1.2732

	[[चित्र:Equation6.gif\|thumb\|center\|~~250px~~]]		[[चित्र:Equation6.gif\|thumb\|center\|200px]]

	दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात्‌ इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।		दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात्‌ इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।
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	63802¸ 73.1 = 6380.2¸731		63802¸ 73.1 = 6380.2¸731
	[[चित्र:Equation8.gif\|thumb\|center\|~~250px~~]]		[[चित्र:Equation8.gif\|thumb\|center\|200px]]

	स्पष्ट हे कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।		स्पष्ट हे कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।

रविन्द्र प्रसाद 18 मई 2018 को 08:14 बजे

2018-05-18T08:14:03Z

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	इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:		इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
	[[ चित्र:Equation-.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[ चित्र:Equation-.gif\|thumb\|center\|250px]]

	इस प्रकार अभीष्ट में म.स. ८४ है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:		इस प्रकार अभीष्ट में म.स. ८४ है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
	[[ चित्र:Equation2.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[ चित्र:Equation2.gif\|thumb\|center\|250px]]

	अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।		अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।
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	इन दशमलव पद्धति के प्रयोग द्वारा वे भिन्नें भी लिखी जा सकती हैं जिनका हर 10 का कोई घात हो; यथा:		इन दशमलव पद्धति के प्रयोग द्वारा वे भिन्नें भी लिखी जा सकती हैं जिनका हर 10 का कोई घात हो; यथा:
	[[चित्र:Equation3.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[चित्र:Equation3.gif\|thumb\|center\|250px]]
	= 35 + 7 ´ 10.1+ 0 ´ 10-2+6 ´ 10-3+4 ´ 10-4		= 35 + 7 ´ 10.1+ 0 ´ 10-2+6 ´ 10-3+4 ´ 10-4

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	दशमलव में योग और व्यवकलन-दशमलव पद्धति में योग ज्ञात करने की निम्नांकित पद्धति अब प्राय: सर्वमान्य है। संख्याओं को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखना चाहिए कि दशमलव बिंदु सब एक स्तंभ में अर्थात्‌ एक के नीचे एक रहें। इस प्रकार एकक के सभी अंक एक स्तंभ में पड़ेंगे, दहाई के स्थान वाले अंक एक अन्य स्तंभ में, इत्यादि; उदाहरणत: 53.76, 236081, 408346 का योग यों निकलेगा:		दशमलव में योग और व्यवकलन-दशमलव पद्धति में योग ज्ञात करने की निम्नांकित पद्धति अब प्राय: सर्वमान्य है। संख्याओं को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखना चाहिए कि दशमलव बिंदु सब एक स्तंभ में अर्थात्‌ एक के नीचे एक रहें। इस प्रकार एकक के सभी अंक एक स्तंभ में पड़ेंगे, दहाई के स्थान वाले अंक एक अन्य स्तंभ में, इत्यादि; उदाहरणत: 53.76, 236081, 408346 का योग यों निकलेगा:
	[[ चित्र:Equation4.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[ चित्र:Equation4.gif\|thumb\|center\|250px]]

	स्पष्ट है कि दशमलवों का योग साधारण जोड़ के समान ही है। ऊपर की क्रिया वस्तुत: निम्नलिखित का संक्षिप्त रूप है:		स्पष्ट है कि दशमलवों का योग साधारण जोड़ के समान ही है। ऊपर की क्रिया वस्तुत: निम्नलिखित का संक्षिप्त रूप है:

	5 ´ 10 + 3+ 7 ´ 10<sup>-1</sup>+ 6 ´ 10<sup>-2</sup>		5 ´ 10 + 3+ 7 ´ 10<sup>-1</sup>+ 6 ´ 10<sup>-2</sup>

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	व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के		व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के
	[[ चित्र:Equation5.gif\|thumb\|~~left~~\|~~25px~~]]		[[ चित्र:Equation5.gif\|thumb\|center\|250px]]

	नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा बगल में दिखाया गया है।		नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा बगल में दिखाया गया है।
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	424.33643 ´ 12.732 = 4243.3643 ´ 1.2732		424.33643 ´ 12.732 = 4243.3643 ´ 1.2732

	[[चित्र:Equation6.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[चित्र:Equation6.gif\|thumb\|center\|250px]]

	दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात्‌ इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।		दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात्‌ इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।
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	इत्यादि, जहाँ ग<sub>1</sub>, ग<sub>2</sub>, . . . प्रत्येक 10 से कम है; तो गुणनफल के एकक के स्थान में ग1, दहाई के स्थान में ग2, सैकड़े के स्थान में ग3 .. . होंगे। वास्तविक प्रक्रिया में सुगमता इसमें होती है कि गुणक को उलटकर लिए लिया जाए। तब समांतर रेखाओं में स्थित अंकों के मौखिक गुणनफल का योग ज्ञात करना होता है:		इत्यादि, जहाँ ग<sub>1</sub>, ग<sub>2</sub>, . . . प्रत्येक 10 से कम है; तो गुणनफल के एकक के स्थान में ग1, दहाई के स्थान में ग2, सैकड़े के स्थान में ग3 .. . होंगे। वास्तविक प्रक्रिया में सुगमता इसमें होती है कि गुणक को उलटकर लिए लिया जाए। तब समांतर रेखाओं में स्थित अंकों के मौखिक गुणनफल का योग ज्ञात करना होता है:

	उदाहरणत: 34608 को 5387 से गुणा करने में क्रिया इतनी लिखी जाएगी:		उदाहरणत: 34608 को 5387 से गुणा करने में क्रिया इतनी लिखी जाएगी:
	[[ चित्र:Equation7.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[ चित्र:Equation7.gif\|thumb\|center\|250px]]

	यहाँ गुणनफल का अंक २ योग 7 ´ 6 + 8 ´ 0 + 3 ´ 8 + हासिल के 6 का एकक वाला अंक है। अंत में गुणनफल में दशमलव इस प्रकार लगाया जाता है कि उसके दाहिनी ओर उतने ही अंक रहें जितने गुणक और गुण्य में मिलकर हों।		यहाँ गुणनफल का अंक २ योग 7 ´ 6 + 8 ´ 0 + 3 ´ 8 + हासिल के 6 का एकक वाला अंक है। अंत में गुणनफल में दशमलव इस प्रकार लगाया जाता है कि उसके दाहिनी ओर उतने ही अंक रहें जितने गुणक और गुण्य में मिलकर हों।
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	इस दशमलव संख्या में दूसरी संख्या का भाग देने में सुविधा इसमें होती है कि भाजक से दशमलव हटा दिया जाए और भाज्य में दशमलव को भी उतने ही स्थान तक दाईं ओर हटा दिया जाए। इसके बाद साधारण रीति से भाग की क्रिया की जाती है। भागफल में दशमलव उस अंक के बाद लगेगा जो भाज्य में एकक वाले स्थान के अंक को उतार कर भाग देने पर मिलता है।		इस दशमलव संख्या में दूसरी संख्या का भाग देने में सुविधा इसमें होती है कि भाजक से दशमलव हटा दिया जाए और भाज्य में दशमलव को भी उतने ही स्थान तक दाईं ओर हटा दिया जाए। इसके बाद साधारण रीति से भाग की क्रिया की जाती है। भागफल में दशमलव उस अंक के बाद लगेगा जो भाज्य में एकक वाले स्थान के अंक को उतार कर भाग देने पर मिलता है।
	क्रिया निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी:		क्रिया निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी:

	63802¸ 73.1 = 6380.2¸731		63802¸ 73.1 = 6380.2¸731
	[[चित्र:Equation8.gif\|thumb\|~~left~~\|250px]]		[[चित्र:Equation8.gif\|thumb\|center\|250px]]

	स्पष्ट हे कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।		स्पष्ट हे कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।
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	दी हुई संख्या के दशमलव स्थान से आरंभ कर बाईं ओर और दाहिनी ओर दो-दो अंकों के जोड़े बना लें। अब संख्या के बाएँ सिरे पर प्रथम खंड या तो एक पूरा जोड़ा होगा या केवल एक अंक। 1 से 9 तक के वर्गों की सारणी से देखें कि यह खंड किन संख्याओं के वर्गों के बीच में है। छोटी संख्या को वर्गमूल में लिखें। इसके वर्ग को खंड से घटाएँ और शेष के आगे दूसरा खंड उतारें; यह दूसरा भाज्य है। भाजक के लिखे अब तक प्राप्त वर्गमूल का दूना लिखें और देखें कि उसके आगे दीर्घतम कौन-सा अंक ब बढ़ाया जाए कि बढ़ाने पर प्राप्त भाज्य का ब गुना दूसरे भाज्य से कम रहे। इस प्रकार वर्गमूल का दूसरा अंक ब हुआ। इसी प्रकार अन्य अंक ज्ञात करें। यह क्रिया ऊपर बगल में दिखाए गए उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी जिसमें 325.649 का वर्गमूल ज्ञात किया गया है।		दी हुई संख्या के दशमलव स्थान से आरंभ कर बाईं ओर और दाहिनी ओर दो-दो अंकों के जोड़े बना लें। अब संख्या के बाएँ सिरे पर प्रथम खंड या तो एक पूरा जोड़ा होगा या केवल एक अंक। 1 से 9 तक के वर्गों की सारणी से देखें कि यह खंड किन संख्याओं के वर्गों के बीच में है। छोटी संख्या को वर्गमूल में लिखें। इसके वर्ग को खंड से घटाएँ और शेष के आगे दूसरा खंड उतारें; यह दूसरा भाज्य है। भाजक के लिखे अब तक प्राप्त वर्गमूल का दूना लिखें और देखें कि उसके आगे दीर्घतम कौन-सा अंक ब बढ़ाया जाए कि बढ़ाने पर प्राप्त भाज्य का ब गुना दूसरे भाज्य से कम रहे। इस प्रकार वर्गमूल का दूसरा अंक ब हुआ। इसी प्रकार अन्य अंक ज्ञात करें। यह क्रिया ऊपर बगल में दिखाए गए उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी जिसमें 325.649 का वर्गमूल ज्ञात किया गया है।
	[[चित्र:Equation9.gif\|thumb\|~~left~~\|~~250px~~]]		[[चित्र:Equation9.gif\|thumb\|center\|200px]]

	इसके बाद हम 207400 की 3604 से भाग दे सकते हैं।		इसके बाद हम 207400 की 3604 से भाग दे सकते हैं।

रविन्द्र प्रसाद 18 मई 2018 को 06:57 बजे

2018-05-18T06:57:50Z

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यशी चौधरी 18 मई 2018 को 05:29 बजे

2018-05-18T05:29:14Z

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यशी चौधरी: ''''अंकगणित''' (अँग्रेजी में अरिथमेटिक) गणित की वह शाखा...' के साथ नया पृष्ठ बनाया

2018-05-17T12:10:24Z

''''अंकगणित''' (अँग्रेजी में अरिथमेटिक) गणित की वह शाखा...' के साथ नया पृष्ठ बनाया

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